正弦余弦定理以及公式证明,证明正弦定理和余弦定理

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正弦余弦定理以及公式证明

证明正弦定理和余弦定理

如何用余弦定理证明正弦定理？

三角函数中，什么是余弦，什么是正弦？

正弦余弦定理以及公式证明

1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CD⊥AB垂足为D，CD=a·sinB，所以 a·sinB=b·sinA。同理可证，任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，得到三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c之间的关系：a=2r·sinA、b=2r·sinB、c=2r·sinC。

2. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。根据余弦定理，c2=a2 b2-2ab·cosC。

以上内容仅供参考，建议查阅三角函数书籍或咨询数学领域专业人士获取更多专业解答。

证明正弦定理和余弦定理

在三角形ABC中，作BC的垂线交BC于D，联结AD，设AD=h。

因AB=c,AC=b,BC=a,BD=c*cosB,CD=BC-BD=a-c*cosB,

1、证明正弦定理

因 h=AB*sinB=AC*sinC,

即：c*sinB=b*sinC

整理，得：b/sinB=c/sinC,

同理可得：c/sinC=a/sinA,

故证得正统定理：

a/sinA=b/sinB=c/sinC,

2、证明余弦定理

在三角形ABD中，

AB^2=AD^2 BD^2

=h^2 (BD)^2

=[AC^2-(CD)^2] (BD)^2

=b^2-(a-c*cosB)^2 (c*cosB)^2

=b^2-a^2 2ca*cosB

移项，得余弦定理之一：

b^2=c^2 a^2-2*c*a*cosB,

同理可证：

c^2=a^2 b^2-2*a*b*cosC,

a^2=b^2 b^2-2*b*c*cosA,

证毕。

如何用余弦定理证明正弦定理？

用余弦定理：a^2 b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2 b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2 b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2 b^2*c^2 c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得证

三角函数中，什么是余弦，什么是正弦？

假如有一个直角三角形 ABC,其中 a、b 是直角边，c 是斜边。

正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c；

余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c；

正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b。

扩展资料

1、互余角的三角函数间的关系：

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

2、常用的诱导公式

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等

sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）

cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）

tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）

有关的定理：

1、正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

2、余弦定理：

3、在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。

参考资料来源：

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