数列求和的七种方法

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数列求和的七种方法

数列求和的七种方法

数列求和的几种方法

数列求和公式七个方法

数列求和的七种方法

数列求和的七种方法

一、公式法

公式法是数列求和的最基本方法，对于等差数列或等比数列，可以直接利用其求和公式进行计算。

对于等差数列，求和公式为：

$S_n = frac{n}{2} (2a_1 (n-1)d)$

其中，$a_1$ 是首项，$d$ 是公差。

对于等比数列，求和公式为：

$S_n = frac{a_1(1 - rn)}{1 - r}$

其中，$a_1$ 是首项，$r$ 是公比。

二、裂项法

裂项法是一种通过将数列中的每一项进行拆分，使得分母之间相互关联，从而简化求和过程的技巧。常见的是将分数的分子进行拆分。

例如，对于数列：$frac{1}{n(n 1)}$，可以将其拆分为：

$frac{1}{n} - frac{1}{n 1}$

然后进行求和，得到：

$1 - frac{1}{2} frac{1}{2} - frac{1}{3} frac{1}{3} - frac{1}{4} cdots frac{1}{n} - frac{1}{n 1}$

化简后得到：

$= 1 - frac{1}{n 1}$

三、倒序相加法

倒序相加法是一种通过将数列的正序和倒序分别求和，然后取两者之和的一半来得到数列的和的方法。这种方法适用于可以拆分成正序和倒序两部分相等的数列。

例如，对于数列 $a_n = a_1 a_2 a_3 cdots a_n$，可以将其倒序写为 $a_n = a_n a_{n-1} a_{n-2} cdots a_1$，然后将正序和倒序两个数列相加，得到：

$2S_n = (a_1 a_n) (a_2 a_{n-1}) cdots (a_n a_1)$

化简后得到：

$S_n = frac{(a_1 a_n) times n}{2}$

四、错位相减法

错位相减法是一种通过错位相减来消去一部分项，从而简化求和过程的方法。这种方法常用于等差数列与等比数列的混合数列中。具体步骤如下：

1. 将数列写成分段的形式，如 $frac{a_n}{b_n}$ 或 $a_nb$ 的形式。

2. 构造另一个与原数列相关的新数列，使得新数列的某一项与原数列的相应项相减能够消去一部分项。这通常需要使用到等差数列或等比数列的性质。

3. 对新数列进行求和，得到一个与原数列相关的表达式。

4. 将这个表达式代入原数列的求和公式中，得到最终结果。

五、归纳法

归纳法是通过观察数列的前几项，推测出通项公式，然后再用数学归纳法证明这个通项公式的正确性。这种方法适用于一些比较复杂的数列。具体步骤如下：

1. 观察数列的前几项，尝试寻找它们之间的规律。如果找到规律，写出这个规律，这就是你的归纳假设。

数列求和的七种方法

如下：

1、公式法。

公式法是解的一种方法，也指套用公式计算某事物。

另外还有配方法、、直接开平方法与分解因式法等解方程的方法。

公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。

根据因式分解与乘法的关系，把各项系数直接带入求根公式，可避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

2、裂项相消法。

裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

3、 错位相减法。

适用于为等差的乘以等比的数列形式{an}、{bn}分别是等差数列和。

4、分解法。

数学中用以求解高次一元方程的一种方法。

把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫。

5、分组求和法。

分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。

6、倒序相加法。

等差数列：首项为a1，末项为an，公差为d，那么为Sn=a1*n [n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1 an)]/2。

7、乘公比错项相减（等差×等比）。

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。

类似于错位相减法。

数列求和的几种方法

1. 公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1 an)/2=na1 n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

Sn=a1b1 a2b2 a3b3 ... anbn

例如： an=a1 (n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1 a2b2 a3b3 a4b4.... anbn

qTn= a1b2 a2b3 a3b4 ... a(n-1)bn anb(n 1)

Tn-qTn= a1b1 b2(a2-a1) b3(a3-a2) ...bn[an-a(n-1)]-anb(n 1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n 1) d(b2 b3 b4 ...bn) =a1b1-an·b1·q^n d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1 an)

Sn =a1 a2 a3 ...... an Sn =an a(n-1) a(n-3)...... a1 上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1 an)n/2

4.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例如：an=2^n n-1

5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n 1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

常用公式：

（1）1/n(n 1)=1/n-1/(n 1)

（2）1/(2n-1)(2n 1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n 1)]

（3）1/n(n 1)(n 2)=1/2[1/n(n 1)-1/(n 1)(n 2)]

（4）1/(√a √b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n 1)!-n!

[例] 求数列an=1/n(n 1) 的前n项和.

解：an=1/n(n 1)=1/n-1/(n 1) （裂项）

则Sn =1-1/2 1/2-1/3 1/4… 1/n-1/(n 1)（裂项求和）＝ 1-1/(n 1)＝ n/(n 1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。

只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点 1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k 1时命题也成立。

例：求证：1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 …… n(n 1)(n 2)(n 3) = [n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)]/5 证明： 当n=1时，有： 1×2×3×4 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 1) = 2×3×4×5×6/5 假设命题在n=k时成立，于是： 1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 …… k(k 1)(k 2)(k 3) = [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5 则当n=k 1时有： 1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 …… (k 1)(k 2)(k 3)(k 4) = 1×2×3×4 2×3×4*5 3×4×5×6 …… k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)(k 4) = [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5 (k 1)(k 2)(k 3)(k 4) = (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)*(k/5 1) = [(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)(k 5)]/5 即n=k 1时原等式仍然成立，归纳得证

7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。

如：求数列1，1 2，1 2 3，1 2 3 4,……的前n项和。

此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

8.并项求和：

例：1－2 3－4 5－6 …… （2n-1）-2n （并项）

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

数列求和公式七个方法

数列求和的七种方法：

1、公式法：如数列是等差数列或等比数列，可以使用对应的求和公式来求解。

2、分组求和法：所有子数列的和相加即可得到整个数列的和。

3、递推公式法：使用递推公式求解数列的和。

4、几何意义法：通过计算图形面积或体积来求解数列的和。

5、差分法：对数列做差分操作，得到一个新的数列，然后对新数列求和。

6、换元法。

7、特殊技巧法。