等比数列前n项和公式推导过程（实用） 等比数列是怎么推导出来的？

欢迎大家加入这个等比数列公式及推导问题集合的讨论。我将充分利用我的知识和智慧，为每个问题提供深入而细致的回答，希望这能够满足大家的好奇心并促进思考。

等比数列前n项和公式推导过程（实用）

　等比数列是数学中一个重要的知识点，那么你知道等比数列的求和公式及其推导过程吗?下面是由我为大家整理的“等比数列前n项和公式推导过程(实用)”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　 等比数列前n项和公式

　公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。

　 等比数列前n项和公式推导过程

　等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

　推导如下：

　因为an=a1q^(n-1)

　所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)

　qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)

　(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

　把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

　把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

　以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

　(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

　于是得到

　(1-q)Sn=a1(1-q^n)

　即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

拓展阅读：等比数列的性质

　①在等比数列{an}{an}中，若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N?)m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N?)，则am?an=ap?aq=a2kam?an=ap?aq=ak2；

　②若数列{an}{an}，{bn}{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0){λan}(λ≠0)，{1an}{1an}，{a2n}{an2}，{an?bn}{an?bn}，{anbn}{anbn}仍然是等比数列;

　③在等比数列{an}{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，?an，an+k，an+2k，an+3k，?为等比数列，公比为qkqk;

　④q≠1q≠1的等比数列的前2n2n项，S偶=a2?[1?(q2)n]1?q2S偶=a2?[1?(q2)n]1?q2，S奇=a1?[1?(q2)n]1?q2S奇=a1?[1?(q2)n]1?q2，则S偶S奇=qS偶S奇=q;

　⑤等比数列的单调性，取决于两个参数a1a1和qq的取值，an=a1?qn?1an=a1?qn?1。

等比数列前n项和公式的推导

等比数列的前n项和公式是Sn=1?qa1(1?qn)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。

1、公式的推导过程

设等比数列的通项公式为：an=a1qn?1，其中a1是首项，q是公比，n是项数。设等比数列的前n项和为Sn=a1+a2+?+an根据通项公式可将Sn写成Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn?1将上式两边乘以q得qSn=a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn。

将两式相减得(1?q)Sn=a1?a1qn当q?=1时，两边除以(1?q)得Sn=1?qa1(1?qn)当q=1时，等比数列退化为等差数列，此时有Sn=na1。

2、公式的应用范围

等比数列的前n项和公式适用于任意的首项a1和公比q，只要n是正整数。当n→∞时，如果∣q∣<1，则等比数列的前n项和趋于一个极限值n→∞limSn=1?qa1如果∣q∣≥1，则等比数列的前n项和没有极限，因为各项的绝对值不趋于零。

循环小数与等比数列的关系

一、循环小数的定义

1、循环小数是一种小数，它的小数部分有一段或几段数字不断重复出现，称为循环节。

2、循环小数可以分为纯循环小数和混循环小数两种。纯循环小数是指小数点后全部数字都是循环节，如0.3=0.333?；混循环小数是指小数点后有一部分数字不是循环节，如0.234=0.2343434?

二、循环小数与等比数列的联系

1、循环小数可以看作是一个无穷等比数列的和。例如，纯循环小数0.3可以写成

0.3=0.3+0.03+0.003+?=103+1003+10003+?=1?101103=93=31

2、混循环小数也可以用类似的方法转化为有限等比数列与无穷等比数列的和。例如，混循环小数0.234可以写成0.234=0.2+0.034+0.00034+?=0.2+100034+10000034+?=0.2+1?1000100100034=9023。

等比数列是怎么推导出来的？

等比数列的通项公式：An=A1*q^（n－1）。

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0，其中{an}中的每一项均不为0。

注意：

公式中a^n表示A的n次方，等比数列在生活中也是常常运用的，如：银行有一种支付利息的方式-复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，就是通常说的利滚利，按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。

等比数列前n项和公式推导过程

等比数列前n项和公式是怎么推导的？想必许多同学对这个问题存有疑惑。下面，就跟我一起来看看吧。

等比数列前n项和公式如何推导

等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

推导如下：

因为an=a1q^(n-1)

所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)

qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)

（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。

把（1）式的第二项减去（2）式的第一项。

把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。

以此类推,把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。

（2）式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

于是得到

(1-q)Sn=a1(1-q^n)

即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

等比数列前N项和的性质

1、若m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；

2、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”；

3、若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2；

4、按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列；

5、等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比；

6、若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数；

7、等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)(8)数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方；

8、由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

等比数列前n项和函数特性

|an=a1.q^bai(n-1)

Sn=a1+a2+...+an

=a1(1+q+q^2+...+q^n)

=a1(1-q^n)/(1-q)

Note:(1-q)(1+q+q^2+...+q^n)=1-q^n

|q|<1

S(∞du)

=lim(n->∞)Sn

=lim(n->∞)a1(1-q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)

等比数列公式怎么推导

等比数列A1 = a A2=aq A3 =aq^2 A4=aq^3 An=aq^(n-1)

等比数列和S=A1 + A2+A3+A4+-----+ An=a +aq +aq^2 +aq^3 + -----+aq^(n-1)

将等式两边都乘以q后有：qS=aq +aq^2 +aq^3 +-----+ aq^(n-1)+aq^n

以上两式相减得（1-q）S=a-aq^n=a（1-q^n）

S=a（1-q^n）/（1-q）

好了，关于“等比数列公式及推导”的讨论到此结束。希望大家能够更深入地了解“等比数列公式及推导”，并从我的解答中获得一些启示。