如何求函数的值域 值域怎么求要过程

如何求函数的值域

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。

2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。

3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。

例题：y=x^2+2x+3x∈-1，2

先配方，得y=(x+1)^2+1

∴ymin=(-1+1)^2+2=2

ymax=(2+1)^2+2=11

4.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。

5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。

6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。

8.换元法：适用于有根号的函数

例题：y=x-√（1-2x)

设√（1-2x)=t(t≥0)

∴x=(1-t^2)/2

∴y=(1-t^2)/2-t

=-t^2/2-t+1/2

=-1/2(t+1)^2+1

∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）

9：图像法，直接画图看值域

这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。

10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。

例题：y=(3x-1)/(3x-2)

先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)

明显定义域为x≠1

所以原函数的值域为y≠1

函数值域的12种求法？

函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用

来表示

，再由

的取值范围，通过解不等式，得出

的取值范围；常用来解，型如：

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：

，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

值域怎么求要过程

求函数值域的方法有配方法，常数分离法，换元法，逆求法，基本不等式法，求导法，数形结合法和判别式法等。

配方法：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域求函数的值域，画一个简单图更能便捷直观的求值域。

常数分离：一般是对于分数形式的函数来说的。将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离求得值域。

逆求法：对于y=某x的形式可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。

换元法：对于函数的某一部分较复杂或生疏可用换元法，将其转变成我们熟悉的形式求解。

单调性：先求出函数的单调性，注意先求定义域，根据单调性再求函数的值域。

基本不等式：根据我们学过的基本不等式可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。

数形结合：可根据函数给出的式子画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。

求导法：求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值就可得到值域了。

判别式法：将函数转变成某某等于零的形式，再用解方程的方法求出要满足的条件，求解即可。

求值域的五种方法

求值域的五种方法：

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。

2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。

3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。

例题：y=x^2+2x+3x∈-1，2

先配方，得y=(x+1)^2+1

∴ymin=(-1+1)^2+2=2

ymax=(2+1)^2+2=11

4.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。

5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。

6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。

8.换元法：适用于有根号的函数

例题：y=x-√（1-2x)

设√（1-2x)=t(t≥0)

∴x=(1-t^2)/2

∴y=(1-t^2)/2-t

=-t^2/2-t+1/2

=-1/2(t+1)^2+1

∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）

9：图像法，直接画图看值域

这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。

10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。

例题：y=(3x-1)/(3x-2)</p><p>先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)

明显定义域为x≠1

所以原函数的值域为y≠1

扩展资料：

值域，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。

在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数的定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。

参考资料：

百度百科-值域（数学名词，函数经典定义）

高考数学函数求值域的十二种方法

　一.观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

二.反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

四.判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

五.最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

六.图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

　七.单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例7求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

八.换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例8求函数y=x-3+√2x+1的值域。

　九.构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例9求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

　十.比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

　十一.利用多项式的除法

例11求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

十二.不等式法

例12求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

求函数值域的方法总结

　在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、 认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方法，下面为大家总结了求函数值域的方法，希望可以帮助到同学们。

　 一．观察法

　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

　例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

　解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

　故3+√(2－3x)≥3。

　∴函数的知域为.

　点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

　 二．反函数法

　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

　练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）

　 三．配方法

　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

　例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

　解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

　∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的'一种重要的思想方法。

　练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

　 四．判别式法

　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

　例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

　解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

　当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3

　当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

　练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

　 五．最值法

　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

　解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

　当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

　∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）

　A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

　（答案：D）。

　 六．图象法

　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

　例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

　解：原函数化为－2x+1(x≤1)

　y=3(-1<x≤2)

　2x-1(x>2)

　它的图象如图所示。

　显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域

　 七．单调法

　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

　例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

　点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

　解：设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x

　在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

　点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

　练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

　 八．换元法

　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

　例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。

　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

　解：设t=√2x+1（t≥0）,则

　x=1/2(t2-1)。

　于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

　所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

　练习：求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

　 九．构造法

　根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

　例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

　解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

　正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

　KC=√(x+2)2+1。

　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

　线时取等号。

　∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

　点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

　练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

　以上九种是函数求值域最常用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法.

　 十．比例法

　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

　点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

　解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

　∴x=3+4k,y=1+3k,

　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

　当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。

　函数的值域为｛z|z≥1｝.

　点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

　练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

　 十一．利用多项式的除法

　例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

　点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

　解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

　∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

　∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

　点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

　练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

　 十二．不等式法

　例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

　点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

　解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],

　由对数函数的定义知x/(1-x)＞0

　1-x≠0

　解得，0＜x<1。

　∴函数的值域（0，1）。

　点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一

今天关于“如何求函数的值域 有哪些方法”的探讨就到这里了。希望大家能够更深入地了解“如何求函数的值域 有哪些方法”，并从我的答案中找到一些灵感。