什么叫等差数列 如何快速求解数列的通项公式？

什么叫等差数列

等差数列就是指：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

等差数列是一个常见的数学概念，它的定义可以追溯到公元前300年左右的古希腊数学家毕达哥拉斯。等差数列的英文是Arithmetic Progression，简称AP，它指的是一个序列，其中任何两个相邻的项的差都是一个常数。

等差数列的通项公式是：a_n = a_1 + (n-1) * d，其中a_n表示第n项的值，a_1表示第一项的值，d表示公差，即任意两项之间的差值。

等差数列的求和公式是：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1) * d)，其中S_n表示前n项的和。这个公式可以用来快速计算等差数列的和。

等差数列在生活中有很多应用。例如，我们经常遇到的日期、时间序列，有些工资序列，以及很多科学和工程中的数据序列都是等差数列。等差数列的性质使得它在描述这些序列时非常方便。

等差数列的性质包括

公差不变：任意两项之间的差值都是d。

项数增加：如果增加一个项，那么新序列仍然是等差数列。

项数减少：如果减少一个项，那么新序列仍然是等差数列。

任意两项的平均值：如果序列有偶数项，那么中间两项的平均值等于中间项；如果序列有奇数项，那么中间一项的平均值等于中间项。

中间项最大（或最小）：在正项等差数列中，中间一项是最大的；在负项等差数列中，中间一项是最小的。

一次函数图像：等差数列的图像是一个平缓的曲线，这个曲线可以由一个一次函数来近似表示。

封闭图形：如果将等差数列的每一项都标在一个坐标轴上，然后将这些点连接起来，可以得到一个封闭的图形。

等比数列：如果将等差数列中的每一项都乘以一个常数，那么得到的新序列是等比数列。

什么是等差数列的意思概念介绍

　等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么你对等差数列了解多少呢?以下是由我整理关于什么是等差数列的内容，希望大家喜欢!

　什么是等差数列

　等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

　例如：1,3,5,7,9?2n-1。

　通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。

　前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

　注意：以上n均属于正整数。

　等差中项

　等差中项即等差数列头尾两项的和的一半。但求等差中项不一定要知道头尾两项。

　等差数列中，等差中项一般设为A(r)。当A(m),A(r),A(n)成等差数列时。

　A(m)+A(n)=2?A(r),所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项，且为数列的平均数。并且可以推知n+m=2?r。

　且任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明

　它可以看作等差数列广义的通项公式。

　等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

　若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n。则a(m+n)=0。

　其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：

　今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?

　书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。

　这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。

　等差数列的基本性质

　(1)数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数).

　(2)在等差数列中，当项数为2n (n? N+)时，S偶-S奇 = nd，S奇?S偶=an?a(n+1);当项数为(2n-1)(n? N+)时，S奇?S偶=a(中)，S奇-S偶=项数*a(中) ，S奇?S偶 =n?(n-1).

　(3)若数列为等差数列，则Sn，S2n -Sn ，S3n -S2n，?仍然成等差数列，公差为n^2d .

　(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则am/bm=S2m-1/T2m-1。

　(5)在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a-b).

　(6)等差数列中， 是n的一次函数，且点(n， )均在直线y = x + (a - )上.

　(7)记等差数列的前n项和为S .①若a >0，公差d<0，则当a ?0且an+1?0时，S 最大;②若a <0 ，公差d>0，则当a ?0且an+1?0时，S 最小.

　(8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)

　r次等差数列

　为什么等差数列的学习中，对公差和首项特别的关注，因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点。当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫的抛弃公差和首项。

　假设一个基En(x)=[1,x,x^2,。。。,x^k]，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=[b0,b1,b2,。。。,bk]。b同En的长度一样(k+1)。b'表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列。k=r时，我们可以称为r次数列。(x,k只能取自然数)

　p(x)=En(x)*b'

　s(x)=x*En(x)*A*b'

　m+n=p+q(m、n、p、q?N*)则am+an=ap+aq

如何快速求解数列的通项公式？

裂项求和与倒序相加、错位相减、分组求和等方法一样,是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法.这些独具特点的方法,就单个而言,确实精巧,

例子：

求和：1/2+1/6+1/12+1/20

＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)

＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)

＝1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5

＝1-1/5=4/5

在裂项求和中最常见的是已知an（数列）求和.一般在高二数学中存有,是一类规律性题目.

一、基本概念：

1、 数列的定义及表示方法：

2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 数列的前n项和公式Sn:

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式；当d=0时,an是一个常数.

11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式.

12、等比数列的通项公式：an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时,Sn= Sn=

三、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列.

15、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则

16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则

17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列.

18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列.

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列.

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.

22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d

23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)

24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列.

25、{bn}（bn>0）是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列.

26.在等差数列 中：

（1）若项数为 ,则

（2）若数为 则,,

27.在等比数列 中：

（1） 若项数为 ,则

（2）若数为 则,

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.

28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、求数列{an}的最大、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求

(1)当 >0,d

[(文章)等差数列知识讲解]什么是等差数列

等差数列解读

本小节的重点是等差数列的概念和通项公式，关键是讲清等差数列“等差”的特点及通项公式含义．

对等差数列定义的理解，关键是弄清等差数列“等差”的基本特征，即

是同一个常数，对于公差，要强调它是每一项与它的前一项的差

（从第2项起），要防止把被减数与减数颠倒．

在学习等差数列的定义时，学生常常容易忽视定义中的“每”字，例如仅根据作出是等差数列的错误判断．在运用定义证明一个数列是等差数列时，必须要证明每一项（从第2项起）与它的前一项的差都等于同一个常数，即证明对所有大于或等于2的正整数都成立．

等差数列的递推公式是.

在等差数列中，，，，?，特别地，. ，由此可以归纳得出等差数列的通项公式：

这个通项公式也可以由以下的叠加法导出：

从通项公式可以看出，首项和公差是等差数列两个最基本的元素，和

和一经确定，等差数列就被完全确定．解等差数列的问题常常被化归为求

．例如：已知等差数列中任意两项，可以求出等差数列中任一项，这是因为从已知条件可以建立起关于和

的方程组，求出和

．

将等差数列的通项公式

函数的角度来看，

（变形、整理可得

是关于的一次函数（．从

时）或常数函数时）．它的图象是一条直线上的均匀排开的一群孤立点．以后我们会知道，

公差

是该直线的斜率．

三个数成等差数列，则

为的等差中项．这时，即两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数．． 成等差数列的充要条件是

等差中项不仅描述了等差数列中相邻三项的数量关系：

，还可以推广为：若项数成等差数列，则.

由等差数列的特点，如果已知三个数成等差数列，可设这三个数分别为，，

分别为，（其中为公差）；如果已知四个数成等差数列，可设这四个数，，（其中公差为）．这些设法未知量少，又具备对称性，可以使解题简便．

好了，关于“数列概念是什么 通项公式是怎样的”的话题就讲到这里了。希望大家能够通过我的讲解对“数列概念是什么 通项公式是怎样的”有更全面、深入的了解，并且能够在今后的工作中更好地运用所学知识。