勾股定理逆定理公式 勾股定理逆定理证明方法

勾股定理逆定理公式

勾股定理逆定理公式如下：

如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a^2+b^2=c^2;即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.还有变形公式：AB=根号（AC^2+BC^2）,称勾股定理的逆定理。

资料扩展：

《周髀算经》记述公元前一千多年，商高以（3，4，5）这组勾股数为例解释了勾股定理要素，论证弦长平方必定是两直角边的平方和，确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法因后世不明其法而被忽略。

埃及在公元前2600年的纸莎草记载有（3，4，5）这一组勾股数，而古巴比伦泥板纪录的最大的一个勾股数组是。勾股定理有四百多个证明，如微分证明，面积证明等。

在《九章算术注》中，刘徽反复利用勾股定理求圆周率，并利用“割补术”做“青朱出入图”完成勾股定理的几何图形证明。直至现时为止，仍有许多关于勾股定理是否不止一次被发现的辩论。

赵爽勾股圆方图证明法：

中国三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。

刘徽“割补术”证明法：

中国魏晋时期数学家刘徽依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。

利用相似三角形的证法：

有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。

欧几里得的证法：

1、如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）

2、三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

3、任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

4、任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

5、证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，变换成下方两个同等面积的长方形。

如何证明勾股定理逆定理

勾股定理:“直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方之和"

那其逆定理应为一边的平方等于另两边的平方之和三角形一定为直角三角形?

如图:已知AB^2+BC^2=AC^2

而任一三角形的边之间均满足

AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB

比较两式得

COSB=0

B=90度

勾股定理逆定理证明方法

勾股定理逆定理证明方法有构造法和余弦定理。

一、构造法

根据题意，需要证明一个三角形是直角三角形，首先可以构造一个直角三角形ABC，其中AC和BC是直角边，AB是斜边。

在三角形ABC中，根据勾股定理，有AC? + BC? = AB?。

如果能够证明出AC? + BC? = AB?，那么就可以说明三角形ABC是直角三角形。

二、余弦定理

在△ABC中，根据余弦定理，有cosC=(a?+b?-c?)÷2ab。

由于0°<∠C<180°，所以∠C=90°。

因此，可以推断出a?+b?=c?，即三角形ABC为直角三角形。

勾股定理逆定理证明方法的学习方式：

一、理解逆定理内容

首先需要明确勾股定理逆定理的内容，即如果一个三角形的三边满足a? + b? = c?，那么这个三角形一定是直角三角形。这是逆定理的基本表述形式，需要熟练掌握。

二、掌握证明方法

对于勾股定理逆定理的证明，可以采用反证法或者构造法。反证法是通过假设原命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。构造法是通过构造一个满足条件的直角三角形，然后利用勾股定理的结论来证明原命题成立。

三、理解证明思路

在学习勾股定理逆定理的证明方法时，需要明确证明的思路和步骤。对于反证法，需要了解如何假设原命题不成立，并推导出矛盾的结论；对于构造法，需要了解如何构造一个满足条件的直角三角形，并利用勾股定理的结论来证明原命题成立。

证明勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边。

证明方法

勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或直角的一个简单的方法

其中c为最长边: 如果a×a+b×b=c×c，则△ABC是直角三角形。 如果a×a+b×b＞c×c，则△ABC是锐角三角形。 如果a×a+b×b＜c×c，则△ABC是钝角三角形。

勾股定理逆定理的证明: 1、反证法 令角C不是直角， 则a^2+b^2=c^2不成立， 所以矛盾， 所以角C是直角。

2、勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2， 那么C边所对的角是直角。 3、三角函数Cos90 如图:已知AB^2+BC^2=AC^2， 而任一三角形的边之间均满足， AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ， 比较两式得 ， COSB=0 ，

B=90度。

已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90°。

证法1：同一法。

证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。

构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。

那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。

在△ABC和△A'B'C'中，

a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C'。

因而，∠C=∠C'=90°。（证毕）

证法2：余弦定理。

由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。

根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab。

由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。（证毕）

证法3：相似三角形。

证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。

在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。

在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。

另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），

在△ACD与△CBD中，

DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,

BC/AC=a/b,

BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,

∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。

∴∠BDC=∠CDA。

而∠BDC+∠CDA=180°，故∠BDC=∠CDA=90°。

由于∠ACB=∠CDB，所以∠ACB90°。（证毕）

要进行实际应用，那样就事半功倍

证法4

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

证法5

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB = ∠CFD = 90°，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，

∴∠ABG +∠CBJ= 90°，

∵∠ABC= 90°，

∴G,B,I,J在同一直线上，

证法6

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ 即a的平方+b的平方=c的平方

证法7

已知在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°

证明：作AH⊥BC于H

⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x

得x2+y2=c2，

又∵a2+b2=c2，

∴a2+b2=x2+y2（A）

但a>y,b>x，∴a2+b2>x2+y2（B)

（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角

⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x

得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2

∵x2+y2=b2，

得a2+b2=a2+b2+2ay

2ay=0

∵a≠0，∴y=0

这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角

综上所述，∠C必为直角在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°

证明：作AH⊥BC于H

⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x

得x2+y2=c2，

又∵a2+b2=c2，

∴a2+b2=x2+y2（A）

但a>y,b>x，∴a2+b2>x2+y2（B)

（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角

⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x

得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2

∵x2+y2=b2，

得a2+b2=a2+b2+2ay

2ay=0

∵a≠0，∴y=0

这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角

综上所述，∠C必为直角

其他证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。　有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。

证法1

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°即 ∠CBD= 90°又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则A2+B2=C2

证法2

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2

证法3

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ，　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，∴∠ABG +∠CBJ= 90°，　∵∠ABC= 90°，∴G,B,I,J在同一直线上，A2+B2=C2。

证法4

作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ 即A2+B2=C2

证法5

《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。　其证明如下：　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB&sup2；。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

折叠达芬奇的证法

三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。　证明：　第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'因为S1=S2所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以OF2+OE2=E'F'2因为E'F'=EF所以OF2+OE2=EF2勾股定理得证。

证法9

从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：

b (a + b)= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a)矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直角三角形。　（简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab2b2; - b2;+ a2;= c2;a2; + b2;= c2;注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。

什么是勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式 a?+b?=c?，则这个三角形是直角三角形．作用：判断一个三角形是不是直角三角形．

勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．

三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若a?+b?=c?，则三角形是直角三角形；若a?+b?＞c?，则三角形是锐角三角形；若a?+b?＜c?，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．

怎样证明勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理证明

勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。若c为最长边，且a_+b_=c_，则ΔABC是直角三角形；如果a_+b_>c_，则ΔABC是锐角三角形；如果a_+b_

根据余弦定理，在△ABC中，cosC=（a_+b_-c_）÷2ab。

由于a_+b_=c_，故cosC=0；

因为0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（证明完毕）

已知在△ABC中，，求证∠C=90°

证明：作AH⊥BC于H

⑴若∠C为锐角，设BH=y，AH=x

得x_+y_=c_，

又∵a_+b_=c_，

∴a_+b_=x_+y_（A）

但a>y，b>x，∴a_+b_>x_+y_（B）

（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角

⑵若∠C为钝角，设HC=y，AH=x

得a_+b_=c_=x_+（a+y）_=x_+y_+2ay+a_

∵x_+y_=b_，

得a_+b_=c_=a_+b_+2ay

2ay=0

∵a≠0，∴y=0

这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角

综上所述，∠C必为直角

非常高兴能与大家分享这些有关“勾股定理逆定理的内容及证明方法”的信息。在今天的讨论中，我希望能帮助大家更全面地了解这个主题。感谢大家的参与和聆听，希望这些信息能对大家有所帮助。