高中数学归纳法解题过程 数学归纳法证明步骤

高中数学归纳法解题过程

数学上证明与

自然数

n有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与

正整数

有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n有关的命题p(n)，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（

k≥n0，k为自然数

）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题p(n)，

（1）验证n=n0时p(n)成立；

（2）假设n0≤n<k时p(n)成立，并在此基础上，推出p(k+1)成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：

（1）验证对于无穷多个自然数n命题p(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

（2）假设p(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出p(k)成立，

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立；

（四）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题p(n)，q(n)，

（1）验证n=n0时p(n)成立；

（2）假设p(k)（k>n0）成立，能推出q(k)成立，假设

q(k)成立，能推出

p(k+1)成立；

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），p(n)，q(n)都成立。

数学归纳法的变体　　在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的数字开始

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

第一步，证明当n=b时命题成立。

第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。

用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。

只针对偶数或只针对奇数

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：

奇数方面：

第一步，证明当n=1时命题成立。

第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

偶数方面：

第一步，证明当n=0或2时命题成立。

第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

递降归纳法

数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。

数学归纳法是什么?

数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

你们目前学的就是这种第一归纳法

意思是

先验证

第一个数值成立

然后假设第k项成立

验证

k+1项成立

这样的话说明

前一项成立

后一项就成立

所以任意一项要成立只需要

前一项成立。

一直向前推就是第一项要成立

因为已经验证了第一项成立

所以任意一项都成立！

这就是数学归纳法的用意！

如有疑问请通知我！

数学归纳法证明步骤

用数学归纳法进行证明的步骤：

（1）（归纳奠基）证明当

取第一个值

时命题成立；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；

（2）（归纳递推）假设

时命题成立，证明当

时命题也成立；证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；

（3）下结论：命题对从

开始的所有正整数

都成立。

注：

（1）用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可；

（2）在第二步中，在递推之前，

时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对

的正确性可以传递到

时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对

成立），就可以知道命题对

也成立，进而再由第二步可知

即

也成立，…，这样递推下去就可以知道对于所有不小于

的正整数都成立.在这一步中，

时命题成立，可以作为条件加以运用，而

时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将

代入命题.

高等代数中的第一数学归纳法和第二数学归纳法有什么区别？什么时候会用到数学归纳法？

一、定义不同

1、第一数学归纳法：第一数学归纳法可以概括为以下三步：归纳奠基：证明n=1时命题成立；归纳假设：假设n=k时命题成立；归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．

2、第二数学归纳法：数学归纳法是一种重要的论证方法，本文从最小数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨。

二、证明过程不同

1、第一数学归纳法：f（n）=2*f（n-1）+3。

2、第二数学归纳法：f（n）=2*f（n-1）+3*f（n-2）+4。

三、使用方法不同

1、第一数学归纳法：第一归纳法是第二归纳法的特殊形式。凡事能用第一归纳法的，都可以使用第二归纳法。

2、第二数学归纳法：第二归纳法可以证明的，第一归纳法并不一定能证明。

百度百科-第一数学归纳法

百度百科-第二数学归纳法

数学归纳法步骤

数学归纳法步骤：1、证明当n=1时命题成立。2、假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）。

1）当n=1时，显然成立。

2）假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立，

则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果)该式也成立。

由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立。

数学归纳法就是一种证明方式。

通过过归纳，可以使杂乱无章的数学条理化，使大量的数学系统化。归纳是在比较的基础上进行的。通过比较，找出数学间的相同点和差异点，然后把具有相同点的数学归为同一类，把具有差异点的数学分成不同的类。最终达到数学上的证明。

对于数学归纳法的原理以及其深层理解。

一般是用第一数学归纳法和第二数学归纳法

（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n有关的命题p(n)，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。

证明：

设m是使命题p正确的自然数的集合，于是：

(1)数1属于m，因为对于1，命题p是正确的．

(2)假定数n属于m，这就是说，对于数n命题是正确的．这时，对于n的直接后继数n′，命题p也能够证明是正确的，这就是说，n′也属于m．

因此，集合m具有上面归纳公理的性质(1)和(2)，从而集合m应该含有所有的自然数．这就是说，命题p对于任何自然数n都是正确的

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题p(n)，

（1）验证n=n0时p(n)成立；

（2）假设n0≤n<=k时p(n)成立，并在此基础上，推出p(k+1)成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。

要证明它需要最小数定理：自然数的任何非空集合a必有一个最小数

证明：

用反证法．如果命题p不是对于所有自然数都成立，那么使命题p不成立的自然数的集合m不是空集．根据预备定理中的最小数原理，m中必有一最小数l，因为l∈m，所以命题p对于l不成立．由于1能使命题成立，所以l≠1，即l＞1．但l是集合m的最小数，即命题p对于小于l的所有自然数都成立．因而根据本定理的题设，能证明命题p对于l也成立．这个矛盾说明命题p对于所有自然数都是成立的．

在高等代数课本的第一章一般都有详细证明过程

好了，关于“数学归纳法步骤”的话题就讲到这里了。希望大家能够通过我的讲解对“数学归纳法步骤”有更全面、深入的了解，并且能够在今后的工作中更好地运用所学知识。