如何判断函数的对称性与周期性 函数的几种变换

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如何判断函数的对称性与周期性

函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但考试中还会考查函数对称性、连续性、凹凸性。对称性考查的频率一直比较高，如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，尤其是抽象函数的对称性判断。

对称性的概念

①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

函数的几种变换

1、平移变换

函数y=f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y=f(x-a)的图像;向上平移b个单位得到函数y=f(x) b的图像;左平移a个单位得到函数y=f(x a)的图像;向下平移b个单位得到函数y=f(x)-b的图像(a，b>0)。

2、伸缩变换

函数y=f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(0<k<1时，缩;k>1时，伸)得到函数y=kf(x)的图像;

函数y=f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(0<k<1时，伸;k>1时，缩)得到函数y=f(kx)的图像(k>0，且k≠1)。

3、对称变换

(1)函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图像为y=f(-x);

关于x轴对称的图像为y=-f(x);关于原点对称的图像为y=-f(-x)。

(2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称的图像为y=f(2a-x);关于y=b对称的图像为y=2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y=2b-f(2a-x)。

(3)绝对值问题

①函数y=f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下方图像关于x轴对称的翻折到上方，再把下方的图像去掉得到函数y=|f(x)|的图像;

②函数y=f(x)y轴及其右侧的图像保持不变，把左侧图像去掉，再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧得到函数y=f(|x|)的图像;

③函数y=f(x)先用第②步的方法得到函数y=f(|x|)的图像，再平移a个单位得到函数y=f(|x-a|)图象。

对称性的运用

1、求值

“配对”，对称性主要是考查一对函数值之间的关系。

2、“对称性 对称性”可以推导出周期性

两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号，从而得出周期性。

3、“奇偶性 对称性”可以推导出周期性

这在前面已经提到，还是因为奇偶性有制造负号的能力。

4、三角函数的奇偶性

几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用，先求出所有的对称轴，然后y轴是其中的一条(或者先求出所有的对称中心，然后原点是其中的一个)。

5、关于y=x对称的应用

(因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数，关于y=x对称，而f(x)=e^(x 1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到，g(x)=ln(x 1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到，因而对称轴也跟着左移一个单位，即y=x 1)

6、对称性的本义

对称性的本义就是关于对称中心(或对称轴)对称的两个自变量的函数值的紧密关系。

函数平移变换方法规律如下：

y=k（x-n） b就是向右平移n个单位，2.y=k（x n） b就是向左平移n个单位，口诀：右减左加，对于y=kx b来说,只改变b。

函数介绍如下：

函数（function），数学术语。其定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x。

对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数的定义介绍如下：

函数，最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

函数的介绍介绍如下：

首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系有且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。

函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，称它们为常量。

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