等比数列前项和公式是什么？ 等比数列前n项和公式的推导

大家好，今天我将为大家讲解等比数列前n项和的公式的问题。为了让大家更好地理解这个问题，我将相关资料进行了整理，现在就让我们一起来看看吧。

等比数列前项和公式是什么？

等比数列前n项和公式为：

等比数列在生活中的应用：等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”，按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期。

等比数列：

通项公式：an=a1q^（n-1）。

求和公式1：sn=a1（1-q^n）/（1-q）（q≠1）。

求和公式2：sn=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）。

中间公式：如果m+n=2k；m，n，k∈n；则对于等比数列有：（ak）?=am*an。

相等公式：如果m+n=p+q；m，n，p，q∈n，则对于等差数列：am*an=ap*aq。

等比数列前n项和公式的推导

等比数列的前n项和公式是Sn=1?qa1(1?qn)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。

1、公式的推导过程

设等比数列的通项公式为：an=a1qn?1，其中a1是首项，q是公比，n是项数。设等比数列的前n项和为Sn=a1+a2+?+an根据通项公式可将Sn写成Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn?1将上式两边乘以q得qSn=a1q+a1q2+a1q3+?+a1qn。

将两式相减得(1?q)Sn=a1?a1qn当q?=1时，两边除以(1?q)得Sn=1?qa1(1?qn)当q=1时，等比数列退化为等差数列，此时有Sn=na1。

2、公式的应用范围

等比数列的前n项和公式适用于任意的首项a1和公比q，只要n是正整数。当n→∞时，如果∣q∣<1，则等比数列的前n项和趋于一个极限值n→∞limSn=1?qa1如果∣q∣≥1，则等比数列的前n项和没有极限，因为各项的绝对值不趋于零。

循环小数与等比数列的关系

一、循环小数的定义

1、循环小数是一种小数，它的小数部分有一段或几段数字不断重复出现，称为循环节。

2、循环小数可以分为纯循环小数和混循环小数两种。纯循环小数是指小数点后全部数字都是循环节，如0.3=0.333?；混循环小数是指小数点后有一部分数字不是循环节，如0.234=0.2343434?

二、循环小数与等比数列的联系

1、循环小数可以看作是一个无穷等比数列的和。例如，纯循环小数0.3可以写成

0.3=0.3+0.03+0.003+?=103+1003+10003+?=1?101103=93=31

2、混循环小数也可以用类似的方法转化为有限等比数列与无穷等比数列的和。例如，混循环小数0.234可以写成0.234=0.2+0.034+0.00034+?=0.2+100034+10000034+?=0.2+1?1000100100034=9023。

好了，今天关于“等比数列前n项和的公式”的话题就讲到这里了。希望大家能够通过我的介绍对“等比数列前n项和的公式”有更全面、深入的认识，并且能够在今后的实践中更好地运用所学知识。