代数式求值 代入求值的基本步骤

在下面的时间里，我会通过一些例子和解释详细回答大家关于代数式求值的问题。关于代数式求值的讨论，我们正式开始。

代数式求值

（1）5x+3x?-（2x-2x?-1），其中x=-5 （代数式求值）

解：5x+3x?-（2x-2x?-1）

=5x+3x?-2x+2x?+1

=3x+5x?+1

将x=-5代入

3x+5x?+1

=-15+125+1

=111

（2）2a+3b-2ab-a-4b-ab,其中a=0，b=-1 （代数式求值）

解：2a+3b-2ab-a-4b-ab

=a-b-3ab

将a=0，b=-1 代入

a-b-3ab

=0-（-1）-0

=1

（3）求代数式3(x+y)+4(x+y)-6(x+y)的值,其中x=5,y=3

解：3(x+y)+4(x+y)-6(x+y)

=3x+3y+4x+4y-6x-6y

=x+y

将x=5,y=3代入

x+y

=5+3

=8

解方程：

(1)3/5x=10

解： x=50/3

(2)5（x-2）=2（5x-1）

解： 5x-10=10x-2

5x-10x=-2+10

-5x=8

x=-8/5

(3)-5(x+1)=1/2

解：-5x+（-5）=1/2

-5x-5=1/2

-5x=11/2

x=11/10

(4)4- x/3 =x- 3/5 -1

解：4-1/3x=x-8/5

-1/3x-x=-8/5-20/5

-4/3x=-28/5

x=21/5

(5)x- x-1/2 =2- X-1/3

解：-1/2=5/3-x

x=5/3+1/2

x=13/6

数学天才（在代数方面）请进

希望能给你一些帮助！：）

代数式求值问题是初中数学知识结构中的一个重要板块.对于代数式中字母的值是已知的或能根据已知条件容易求出的情况,学生往往掌握的较好;而对于代数式中字母的值求出比较麻烦甚至无法求出时,学生往往感到解题吃力或无法下手.其实,如果我们能从题目中的已知条件出发,挖掘出已知条件与待求的代数式之间的关系,进行灵活变形,代入,就可简化问题,获得简捷解法.下面对解代数式求值问题的几种方法进行整理与分类:

数值代入法:

当代数式中字母的值是已知的或能根据已知条件很容易求出,而且这个数值代入代数式后也容易计算时,可以采用数值代入法.

例1:已知|a+3|+(b-1)2=0,求代数式+的值.

解:∵|a+3|≥0,(b-1)2≥0,且|a+3|+(b-1)2=0,

∴a+3=0,b-1=0,即a=-3,b=1,

∴+=+=-+2=

说明:本题求a,b的值时,运用了"若干个非负数的和为零,则每个非负数都是零".

例2:已知x=3是关于x的方程ax2-2x-6=0的解,求代数式4a2+a-3的值.

解:∵x=3是关于x的方程ax2-2x-6=0的解,

∴9a-6-6=0,解得a=,

当a=时,4a2+a-3=4()2+-3=.

说明:由于x=3是方程的解,故可将x=3代入方程,求出a的值.

韦达定理代入法:

当代数式中字母是某个已知一元二次方程的两个根,但题目要求不解方程求代数式的值,或可以解出未知数的值,但代入后很难求出代数式的值时,可以利用韦达定理及公式变形,求得代数式的值.

例3.已知a,b是一元二次方程x2-x-1=0的两个根,不解方程,求的值.

解:由题意得a+b=1,ab=-1,则+==-3

又· =1,故知与是方程y2+3y+1=0的两根,

解的=

说明:本题还可由=

而得解.

例4.设x1,x2是二次方程x2+x-3=0的两个根,那么x13-4x22+19的值是( )(1996年全国初中数学竞赛试题)

A. –4 . B. 8 . C. 6 . D. 0 .

解:∵x1,x2是二次方程x2+x-3=0的两个根,

∴x1+x2=-1,x1 x2=-3,

∴x12+x22=( x1+x2)2-2 x1 x2=7

设A= x13-4x22+19,B= x23-4x12+19

则A+B= x13+ x23-4 (x12 + x22)+38

=(x1+x2)[( x1+x2)2-3x1 x2]+10=0,

B= x13- x23-4 (x22 - x12)

= (x1-x2)[( x1+x2)2-x1 x2]+4(x1+x2) (x1-x2)

=(x1-x2)(1+3-4)=0

∴A=(0+0)=0,故选D.

说明:

参数代入法:

当给定的条件无法确定字母的值,但能确定各字母之间的比例关系时,可以采用参数代入法(又称比值法).解题的思路是:设比例中的每一份为一个参数(如k),则待求式中的各字母都可以表示为含k的一次式,这样就可以达到消元的目的,从而解出代数式的值.

例5.若x : y : z=4 : 3 : 2,求的值

解:由x : y : z=4 : 3 : 2,可设===k

∴x=4k,y=3k,z=2k

∴===2.

说明:本题还可以把原比例式转化为:==,==,再由比例的等比性质,得=,即==2.可以看出,参数代入法是一种以简驭繁的方法,能使解决问题的过程大大简化.

整体代入法:

例6.已知x2+xy+3y2=-5,求代数式(9x2+3xy+6)-(7x2-6y2+xy-5)的值.

解:(9x2+3xy+6)-(7x2-6y2+xy-5)

=9x2+3xy+6-7x2+6y2-xy+5

=2 x2+2xy+6 y2+11

=2(x2+xy+3y2)+11

当x2+xy+3y2=-5时,原式=2(-5)+11=1.

说明:本题只给出x与y之间关系的一个式子,无法求出x,y的值,因此可将原式化简,使之含有因式x2+xy+3y2,故可用整体代入.

归一代入法:

当给定的方程的个数少于未知数的个数时,我们知道这是无法解出具体未知数的值.这时我们可以用同一个未知数的一次式代替其他未知数,这样就达到消元的目的,再根据题意,解出代数式的值.这种方法,我们称为归一代入法.

例7.若x+y+z=3y=2z,求的值.

解:依题意得

①+②得2x+2y+2z=3y+2z,即y=2x, ④

把④代入③得2z=6y,即z=3y,

∴x+y+z=6x,

∴==

倒数法:

当已知条件和待求分式的分母都是多项式,分子都是单项式时,可以考虑待求分式的倒数,从已知的各个条件倒数中是否可得到待求分式的倒数的值.

例8.已知a,b,c为实数,且=,=,=,求的值.

解:显然a,b,c均不为0.

由已知可得:=3,=4,=5,

即+=3,+=4,+=5,

∴++=6

又∵=++=6

∴=

配方法:

这种方法比较适用于从条件中可得到a+的值,而待求式中含有形如a2+,a3+的求值问题.

由配方法可以得到:a2+=(a+)2-2,

a3+=(a+)(a2-1+)=(a+)[(a+)2-3]

易见,代入a+的值后,可求得上述代数式的值.

例9.已知a2-3a+1=0,求a3+的值.

解:显然a不为0.

∵a2-3a+1=0

∴a+=3

∴a3+=(a+)(a2-1+)=(a+)[(a+)2-2-1]

=3(32-2-1)=18

例10.若x+=4,求的值.

解:显然x不为0.

则=

平方代入法:

例11.已知a+=7 ,求a - 的值.

解:∵(a - )2=(a+)2-4=(7 )2-4=3

∴a - =±3

像例11的已知条件与待求式之间相差第二项的符号,若能引导学生思考(a+)2与(a - )2之间仅差一个常数,就可用平方代入法,通过平方代入法求得待求式的平方后的值,在开方即求得待求式的值.

关系代入法:

例12.若-= ,求

换元法

例13.若x+=3,求x4+的值.

解:设=y,则由题意得x+y=3,xy=1,x4+= x4+y4

=(x2+y2)2-2x2y2=[(x+y)2-2xy]2-2x2y2=(32-2)2-21=47.

代入求值的基本步骤

代数式求值的步骤如下：

1、代入：用具体数值代替代数式里的字母。计算：按照代数式中指明的运算，计算出结果。注意事项：一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替。如果代数式里省略乘号，那么字母用数值代替时要添上乘号，代入负数和分数时要加括号。

2、代入时，不能改变原式中的运算符号及数字。运算时，要注意运算顺序，即先算平方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的。确定变量：确定代数式中的变量，这些变量可以是数字、字母或其他符号。

3、选择数值：选择合适的数值来代替代数式中的变量。在代入数值之前，需要先确定变量的取值范围，确保代入的数值符合要求。代入数值：将选定的数值代入代数式中，替换掉原来的变量。注意保持原来的运算顺序和符号。

求值的注意事项如下：

1、理解代数式的意义，在求代数式值之前，首先要理解代数式的意义。代数式是由运算符号（如加号、减号、乘号、除号）和字母（如x、y、z等）组成的表达式。每个字母在代数式中都代表着某个未知数或常量。因此，理解代数式的意义是求值的基础。

2、确定变量的取值范围，在代入数值之前，需要先确定代数式中变量的取值范围。这有助于确保代入的数值是合理的。有些变量可能有限制条件，如非负数、正整数等，需要注意这些限制条件。

3、选择合适的数值代入，确保代入数值的准确性。每个字母应该用相应的数值代入，避免误解或错误代入。注意保持原来的运算顺序和符号。代数式中的加号、减号、乘号、除号等运算符号是有特定含义的，代入数值时需要保持原来的运算顺序和符号。

代数式求值的步骤

代数式求值的步骤如下：

1、审题和识别代数式：认真阅读题目，了解题目中给出的代数式、数值和运算符号，明确求值的要求和目标。仔细分析代数式，明确其中包含的字母、数值、幂次和运算顺序。对于复杂的代数式，可以将其分解成几个简单的部分，以便更好地理解和计算。

2、代入数值和简化代数式：将题目中给出的数值代入代数式中，需要注意替换时遵循运算规则和顺序。对于一些特殊的数值，如分数、小数和负数，需要特别注意代入的方式和方法。在代入数值后，可能需要对代数式进行简化。这包括提取公因数、合并同类项、化简分数等。

3、计算结果和整合答案：在代数式简化后，按照运算规则进行计算，得出最终结果。需要注意运算的顺序和精度，避免出现错误的结果。将计算结果进行适当的单位转换或解释，使之更符合实际意义或物理条件。同时需要注意答案的精度和准确性，避免出现误差或错误。

代数的发展历程

1、符号代数：代数最早起源于阿拉伯数学家阿尔-花剌子模的《代数学》，其中最早使用了未知数和方程的概念。后来，欧洲数学家韦达在其《论方程的识别与修正》一书中，首次系统地引入了方程的概念，并使用了字母来表示未知数和已知数，奠定了符号代数的基础。

2、初等代数：随着时间的推移，代数学逐渐发展成为一门独立的学科。欧几里得在其《几何原本》中给出了代数的基础定义和运算规则。同时，中国的数学家也取得了重要的进展，如杨辉三角等成果。这些成果为后来的初等代数的发展奠定了基础。

3、高等代数：高等代数是代数学的一个分支，主要研究的是多项式、矩阵、线性变换、二次型等概念和性质。这个阶段的主要成果包括：多项式的因式分解和判别式的研究、矩阵的初等变换和行列式的计算、线性变换和矩阵之间的关系、二次型的标准型和分类等。

代数式求值的技巧有哪些？

代数式求值的技巧有很多，以下是一些常用的技巧：

1.分配律：将一个多项式分解成两个或多个部分，然后分别计算每个部分的值，最后将结果相加或相减。

2.合并同类项：将具有相同变量的项合并在一起，然后计算它们的和或差。

3.因式分解：将一个多项式分解成两个或多个因子，然后分别计算每个因子的值，最后将结果相乘。

4.利用指数的性质：当一个指数是另一个指数的倍数时，可以利用指数的性质进行简化。

5.利用对数的性质：当一个对数是另一个对数的倍数时，可以利用对数的性质进行简化。

6.利用三角函数的性质：当一个三角函数是另一个三角函数的倍数时，可以利用三角函数的性质进行简化。

7.利用复数的性质：当一个复数是另一个复数的倍数时，可以利用复数的性质进行简化。

8.利用特殊角的三角函数值：当一个角度是特殊角度（如30°、45°、60°等）时，可以直接使用特殊角的三角函数值进行计算。

9.利用单位圆：当一个角度是弧度制时，可以利用单位圆上的点来表示该角度，并利用三角函数的定义进行计算。

好了，关于“代数式求值”的话题就讲到这里了。希望大家能够通过我的讲解对“代数式求值”有更全面、深入的了解，并且能够在今后的工作中更好地运用所学知识。